三相同步发电机电磁转矩的分析方法

摘要：电磁转矩是同步发电机实现机电能量转换的核心物理量，其分析是理解发电机运行特性的基础。康明斯公司在本文中介绍了几种主要且层层递进的分析方法，在实际工程中，应当结合起来使用的。例如，用物理概念来定性理解运行状态（如增励磁、加负载时转矩的变化趋势）；用能量守恒来搭建系统级的功率和转矩平衡关系；用数学公式来进行精确的设计计算、稳定性分析和控制策略制定。

一、 物理概念分析法（基于磁场相互作用）

      这是最直观的理解方式。

1、基本原理

      转子励磁磁场（主磁场）与定子三相电流产生的电枢反应磁场相互作用，产生电磁力，从而形成电磁转矩。

2、形象比喻

      可以想象成两块磁铁，一块是转动的（转子磁场），一块是相对静止的（电枢反应磁场）。同性相斥、异性相吸，这种磁拉力或推力就形成了转矩。

3、关键点

（1）空载时：定子电流为零，不存在电枢反应磁场，因此电磁转矩为零（忽略风阻、摩擦等损耗转矩）。

（2）负载时：定子绕组流过电流，产生一个以同步转速旋转的电枢反应磁场。这个磁场与转子磁场相对静止，但存在一个空间角度差，即功角（δ）。正是这个角度差使得磁力线被“拉伸”或“压缩”，产生了切向的电磁转矩，试图将转子磁场拉回与电枢磁场对齐的位置。

（3）转矩方向：对于发电机，原动机驱动转子克服这个电磁转矩做功，将机械能转换为电能。因此，发电机的电磁转矩是制动性质的，与旋转方向相反。

二、 能量守恒分析法

     该方法从功率角度出发，更为严谨。

1、基本原理

      根据能量守恒定律，发电机产生的电磁功率 ${\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">P</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">e</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">m</span>}}$Pem​ 等于从原动机吸收的机械功率减去空载损耗（铁耗、机械耗）。电磁转矩 ${\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">T</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">e</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">m</span>}}$Tem​ 则是电磁功率除以转子的机械角速度 ${\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">\Omega </span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">s</span>}}$Ωs​（同步角速度）。

2、公式

• $${\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">T</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">e</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">m</span>}}<span\; style="font-size:\; 14px;">=</span>\frac{{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">P</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">e</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">m</span>}}}{{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">\Omega </span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">s</span>}}}$$Tem​=Ωs​Pem​​

  其中，${\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">\Omega </span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">s</span>}}<span\; style="font-size:\; 14px;">=</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">2</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">\pi </span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">n</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">s</span>}}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">60</span>}}$Ωs​=602πns​​，${\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">n</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">s</span>}}$ns​ 为同步转速（r/min）。

• 3、意义

• 此方法将抽象的转矩问题转化为更易于测量和分析的功率问题。只要能够计算出电磁功率 ${\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">P</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">e</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">m</span>}}$Pem​，就可以直接求出电磁转矩。

三、 数学公式推导法（基于双反应理论和相量图）

      这是最精确和通用的定量分析方法，通常基于隐极机和凸极机两种模型。

1、 隐极同步发电机（转子为圆柱形，气隙均匀）

      隐极机的同步电抗 ${\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">X</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">s</span>}}$Xs​ 是综合参数（${\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">X</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">s</span>}}<span\; style="font-size:\; 14px;">=</span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">X</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">a</span>}}<span\; style="font-size:\; 14px;">+</span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">X</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">\sigma </span>}}$Xs​=Xa​+Xσ​），其等效电路和相量图较为简单。

（1）电磁功率公式：

• $${\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">P</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">e</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">m</span>}}<span\; style="font-size:\; 14px;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">m</span>}\frac{{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">E</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">0</span>}}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">U</span>}}{{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">X</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">s</span>}}}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">sin</span>}<span\; style="font-size:\; 14px;"></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">\delta </span>}$$Pem​=mXs​E0​U​sinδ

  • $\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">m</span>}$m：相数（通常为3）

  • ${\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">E</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">0</span>}}$E0​：每相空载电动势（由转子励磁产生）

  • $\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">U</span>}$U：每相端电压

  • ${\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">X</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">s</span>}}$Xs​：同步电抗

  • $\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">\delta </span>}$δ：功角，${\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">E</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">0</span>}}$E0​ 领先于 $\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">U</span>}$U 的角度

    （2）电磁转矩公式：
• $${\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">T</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">e</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">m</span>}}<span\; style="font-size:\; 14px;">=</span>\frac{{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">P</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">e</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">m</span>}}}{{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">\Omega </span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">s</span>}}}<span\; style="font-size:\; 14px;">=</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">m</span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">E</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">0</span>}}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">U</span>}}{{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">\Omega </span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">s</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">X</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">s</span>}}}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">sin</span>}<span\; style="font-size:\; 14px;"></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">\delta </span>}$$Tem​=Ωs​Pem​​=Ωs​Xs​mE0​U​sinδ

  令 $\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">k</span>}<span\; style="font-size:\; 14px;">=</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">m</span>}}{{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">\Omega </span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">s</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">X</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">s</span>}}}$k=Ωs​Xs​m​，则 ${\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">T</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">e</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">m</span>}}<span\; style="font-size:\; 14px;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">k</span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">E</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">0</span>}}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">U</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">sin</span>}<span\; style="font-size:\; 14px;"></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">\delta </span>}$Tem​=kE0​Usinδ

• （3）结论：对于隐极机，电磁转矩与空载电动势 

  ${\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">E</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">0</span>}}$E0​（正比于励磁电流）、端电压 $\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">U</span>}$U 以及功角 $\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">\delta </span>}$δ 的正弦值成正比。当 $\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">\delta </span>}<span\; style="font-size:\; 14px;">=</span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">90</span>}}^{<span\; style="font-size:\; 14px;">\circ </span>}$δ=90∘ 时，电磁转矩达到最大值，即静态稳定极限。

2、凸极同步发电机（转子有突出的磁极，气隙不均匀）

      凸极机由于气隙不均，需采用双反应理论，将电枢反应分解为直轴（d轴）和交轴（q轴）两个分量，并分别定义直轴同步电抗 ${\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">X</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">d</span>}}$Xd​ 和交轴同步电抗 ${\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">X</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">q</span>}}$Xq​（通常 ${\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">X</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">d</span>}}<span\; style="font-size:\; 14px;">></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">X</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">q</span>}}$Xd​>Xq​）。

• （1）电磁功率公式（更精确的表达式）：

  $${\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">P</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">e</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">m</span>}}<span\; style="font-size:\; 14px;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">m</span>}\frac{{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">E</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">0</span>}}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">U</span>}}{{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">X</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">d</span>}}}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">sin</span>}<span\; style="font-size:\; 14px;"></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">\delta </span>}<span\; style="font-size:\; 14px;">+</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">m</span>}\frac{{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">U</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">2</span>}}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">2</span>}}<span\; style="font-size:\; 14px;">(</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">1</span>}}{{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">X</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">q</span>}}}<span\; style="font-size:\; 14px;">-</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">1</span>}}{{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">X</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">d</span>}}}<span\; style="font-size:\; 14px;">)</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">sin</span>}<span\; style="font-size:\; 14px;"></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">2</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">\delta </span>}$$Pem​=mXd​E0​U​sinδ+m2U2​(Xq​1​−Xd​1​)sin2δ

• （2）电磁转矩公式：

  $${\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">T</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">e</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">m</span>}}<span\; style="font-size:\; 14px;">=</span>\frac{{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">P</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">e</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">m</span>}}}{{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">\Omega </span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">s</span>}}}<span\; style="font-size:\; 14px;">=</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">m</span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">E</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">0</span>}}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">U</span>}}{{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">\Omega </span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">s</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">X</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">d</span>}}}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">sin</span>}<span\; style="font-size:\; 14px;"></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">\delta </span>}<span\; style="font-size:\; 14px;">+</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">m</span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">U</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">2</span>}}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">2</span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">\Omega </span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">s</span>}}}<span\; style="font-size:\; 14px;">(</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">1</span>}}{{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">X</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">q</span>}}}<span\; style="font-size:\; 14px;">-</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">1</span>}}{{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">X</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">d</span>}}}<span\; style="font-size:\; 14px;">)</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">sin</span>}<span\; style="font-size:\; 14px;"></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">2</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">\delta </span>}$$Tem​=Ωs​Pem​​=Ωs​Xd​mE0​U​sinδ+2Ωs​mU2​(Xq​1​−Xd​1​)sin2δ

• （3）公式分析：

  • 基本电磁转矩（第一项）：$\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">m</span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">E</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">0</span>}}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">U</span>}}{{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">\Omega </span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">s</span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">X</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">d</span>}}}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">sin</span>}<span\; style="font-size:\; 14px;"></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">\delta </span>}$Ωs​Xd​mE0​U​sinδ，与隐极机形式类似，由转子励磁磁场与电枢磁场相互作用产生，称为主转矩或励磁转矩。

  • 磁阻转矩（第二项）：$\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">m</span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">U</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">2</span>}}}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">2</span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">\Omega </span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">s</span>}}}<span\; style="font-size:\; 14px;">(</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">1</span>}}{{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">X</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">q</span>}}}<span\; style="font-size:\; 14px;">-</span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">1</span>}}{{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">X</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">d</span>}}}<span\; style="font-size:\; 14px;">)</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">sin</span>}<span\; style="font-size:\; 14px;"></span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">2</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">\delta </span>}$2Ωs​mU2​(Xq​1​−Xd​1​)sin2δ。这是由于转子凸极结构导致磁路磁阻不均匀而产生的附加转矩。即使转子不加励磁（${\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">E</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">0</span>}}<span\; style="font-size:\; 14px;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">0</span>}$E0​=0），只要 ${\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">X</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">d</span>}}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">\ne </span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">X</span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">q</span>}}$Xd​=Xq​ 且 $\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">U</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">\ne </span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">0</span>}$U=0，这个转矩依然存在。它的变化周期是功角 $\mathrm{<span\; style="font-size:\; 14px;">\delta </span>}$δ 的两倍。

发电机电磁转矩与转速变化曲线图

总结：

综上所述，将文中公式用曲线表示，可以直观地看到电磁转矩随功角δδ的变化关系。其一，隐极机转矩特性是一条标准的正弦曲线T∝sinδ；其二，凸极机转矩特性是基本电磁转矩（正弦波）和磁阻转矩（二倍频正弦波）的叠加。因此，使得发电机总的转矩曲线在δ<90∘时数值更大，且最大转矩对应的功角δmaxδmax​小于90∘。